求前n个正整数的k次方和

2020-05-07

定义:($k$次多项式函数) 设函数$f$的定义域是$D$,设$k$是正整数,如果存在一组实数$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_k$使得对任意$x \in D$都成立

$$ f(x) = \sum_{i=0}^{k} a_i x^{i} $$

那么就说函数$f$是一个$k$次多项式函数.

性质1:(可加性)设$f$是一个$k$次多项式函数,$g$是一个$k$次多项式函数,定义函数$h$为$h: x \mapsto f(x) + g(x)$,那么$h$也是一个$k$次多项式函数.

证明:不妨令

$$ \begin{align} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k \
g(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_k x^k \end{align} $$

那么

$$ \begin{align} h(x) &= f(x) + g(x) \
&= a_0 + b_0 + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x^2 + \cdots (a_k + b_k) x^k \end{align} $$

因此$h$也是一个$k$次多项式函数.

性质2:(自可加性)设$f_k$是定义在$D$上的一个$k$次多项式函数,定义函数$h_k$为$hk: x \mapsto f{k}(x) + f_{k}(x + \Delta x)$,则对任意$\Delta x \in \mathbb{R}$,$h_k$都是$k$次多项式函数.

证明:当$k$等于$1$时,存在实数$a_0, a_1$使得对任意$x \in D$都有

$$ f_{1}(x) = a_0 + a_1 x $$

从而

$$ f{1}(x) + f{1}(x + \Delta)

ClearAll["Global`*"]
Clear["Global`*"]

sumOfIntegerPowerPolynomial[k_] := (
    Table[
        n^i, {i, 0, k + 1}
    ].Table[
        coeff[i], {i, 0, k + 1}
    ] /. coeff[0] -> 0
)

sumOfIntegerPowerPolynomialCoefficients[k_] := Solve[Table[(
    FullSimplify[sumOfIntegerPowerPolynomial[k] - (
        sumOfIntegerPowerPolynomial[k] /. (n -> (n - 1))
    )] /. n -> i) == i^k, {i, 2, k + 2}],
   Table[coeff[i], {i, 1, k + 1}]
][[1]]

sumOfIntegerPower[m_, k_] := (
    (
        sumOfIntegerPowerPolynomial[k] /. 
        sumOfIntegerPowerPolynomialCoefficients[k]
    ) /. n -> m
);

FullSimplify[ForAll[
    p, Element[p, PositiveIntegers], 
    sumOfIntegerPower[p, 2] == Sum[i^2, {i, 1, p}]
]]

数学应用math

在Mathematica中实现魔方

在Mathematica中模拟星体运动